学习级数的时候，很多朋友都会被收敛和发散的判断难住。明明公式背了不少，可一到做题就不知道该用哪个方法，对着题目发呆半天也理不出头绪。别担心，今天小编就来手把手教大家怎么判断级数收敛还是发散，带好笔和纸，一起往下看吧！

一、基础问题：级数的收敛和发散到底是什么意思呢？

我们先得搞明白，什么是级数的收敛，什么又是发散。简单说，级数就是把一系列数加起来，比如 1+1/2+1/3+1/4+… 一直加下去。如果加到最后，这个和能无限接近一个固定的数，那这个级数就是收敛的；要是这个和会越来越大，或者在几个数之间来回跳，没有固定的结果，那它就是发散的。就像我们存钱，每次存一点，最后总金额稳定在某个数附近，就是收敛；要是越存越多没个尽头，就是发散啦。

二、场景问题：判断收敛和发散，一般有哪些步骤可以走呢？

首先，我们得看看这个级数的一般项，也就是第 n 项当 n 趋向于无穷大时的极限是多少。如果这个极限不是 0，那不用想了，这个级数肯定是发散的。这一步很关键，能帮我们快速排除一些明显发散的级数。比如级数 Σn，它的一般项是 n，当 n 趋向无穷大时极限是无穷大，不是 0，所以它发散。
要是一般项的极限是 0，那我们就得接着往下判断。这时候可以看看级数是不是正项级数，也就是每一项都是正数。如果是正项级数，我们可以用比较判别法、比值判别法或者根值判别法。比如比较判别法，就是找一个我们熟悉的级数和它比较，要是已知的级数收敛，而我们要判断的级数每一项都比它小，那这个级数也收敛；要是已知的级数发散，而我们的级数每一项都比它大，那我们的级数也发散。
如果级数不是正项级数，是交错级数，也就是正负项交替出现的那种，就可以用莱布尼茨判别法。只要满足一般项的绝对值趋向于 0，并且绝对值是单调递减的，那这个交错级数就是收敛的。

三、解决方案：要是不按这些步骤来，会怎么样呢？

要是不先看一般项的极限，上来就用各种判别法，很可能会走弯路。比如有个级数，它的一般项极限不是 0，你还在那用比较判别法费劲比较半天，结果肯定是错的，还浪费了时间。所以啊，一步一步来很重要，先做简单的判断，再深入分析，这样才能少出错。

四、基础问题：为什么要判断级数的收敛和发散呢？

判断收敛和发散可不是为了为难大家，在很多地方都有用。比如在物理学里，计算一些无限过程的总和，就得知道这个级数收不收敛，不然算出来的结果没意义。还有在工程上，设计一些电路的时候，涉及到无穷级数的计算，也得先确定它的收敛性，才能保证设计的准确性。所以学好这个，对我们解决实际问题帮助可大了。

五、场景问题：在具体例子里，该怎么运用这些步骤呢？

我们来看个例子，判断级数 Σ1/n² 是不是收敛的。首先，看它的一般项 1/n²，当 n 趋向无穷大时，极限是 0，这一步没问题。然后，它是正项级数，我们可以用比较判别法。我们知道 Σ1/n² 是 p 级数，当 p>1 时收敛，这里 p=2>1，所以这个级数是收敛的。
再来看一个，级数 Σ(-1)^n /n，这是个交错级数。它的一般项绝对值是 1/n，当 n 趋向无穷大时极限是 0，而且 1/n 是单调递减的，满足莱布尼茨判别法的条件，所以这个级数收敛。
还有一个例子，Σn/(n+1)，它的一般项是 n/(n+1)，当 n 趋向无穷大时，极限是 1，不是 0，所以这个级数发散。

六、解决方案：要是遇到复杂的级数，不知道该用哪个判别法，该怎么办呢？

遇到复杂的级数，别慌。我们可以先把级数的形式整理一下，看看它和我们学过的哪些基本级数比较像。比如有些级数可以拆分成两个级数的和，那我们就分别判断这两个级数的收敛性，再根据收敛级数的性质来判断原来的级数。要是实在看不出来，就多试几种判别法，总有一种能用上的。小编刚开始学的时候也经常碰壁，但多练几道题就有感觉了。

七、基础问题：有没有什么常见的级数，它们的收敛性是固定的呢？

当然有啦。比如等比级数 Σaq^(n-1)，当 | q|<1 时收敛，当 | q|≥1 时发散，这个大家一定要记住。还有刚才提到的 p 级数 Σ1/n^p，当 p>1 时收敛，当 p≤1 时发散，这也是很常用的。记住这些基本级数的收敛性，在判断其他级数的时候可以作为参考，用比较判别法的时候就方便多了。

八、场景问题：在做题的时候，怎么快速记住这些判别法呢？

小编觉得，光靠背公式效果不好，最好是结合例子来记。每学一个判别法，就找几个对应的例子做一做，在做题的过程中理解这个判别法的适用条件和用法。比如比值判别法，计算的时候需要求极限 lim|a (n+1)/a (n)|，我们就多算几个这样的极限，慢慢就熟练了。而且可以把这些判别法整理成一个表格，把条件和结论列清楚，没事的时候翻一翻，加深印象。
结尾的时候，小编想说，判断级数的收敛和发散确实需要多练，刚开始觉得难很正常，只要跟着步骤来，多分析例子，慢慢就会找到感觉。希望今天讲的这些能帮到大家，祝大家学习顺利！

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