2013年江西高考数学｜等比数列第四项求解技巧与真题解析

​​2013年江西高考数学中，等比数列题目为何成为考生失分重灾区？​​

许多考生在面对等比数列问题时，容易因概念混淆或计算失误丢分。以2013年江西卷理科数学第3题为例，题目给出等比数列前三项为x, 3x+3, 6x+6，要求第四项。该题需结合等比数列性质与方程求解，且需排除无效解，对基础扎实度要求较高。

​​一、等比数列核心知识点回顾​​

等比数列的通项公式为
a

n



​








=



a

1



​








⋅



q

n
−
1












，其中公比
q




需通过相邻项关系确定。​​关键点​​在于：

• 
  

  ​​公比一致性​​：任意相邻两项比值恒定，即
  
  
  a
  
  1
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  2
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  =
  
  
  
  
  
  a
  
  2
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  a
  
  3
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  ​
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
• 
  

  ​​项非零限制​​：等比数列中任何一项均不能为0，否则公比无意义

  
  

​​二、2013年真题分步解析​​

​​题目​​：已知等比数列
x
,

3
x

+



3
,

6
x

+



6
,

…




，求第四项。

1. 1.
   

   ​​列方程求公比​​

   根据公比定义：
   
   
   x
   
   
   
   
   
   
   
   3
   x
   +
   3
   
   
   
   
   ​
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   =
   
   
   
   
   
   3
   x
   +
   3
   
   
   
   
   
   
   
   6
   x
   +
   6
   
   
   
   
   ​
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

   两边交叉相乘得：
   (
   3
   x
   
   +
   
   
   
   3
   )
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   =
   
   
   
   x
   (
   6
   x
   
   +
   
   
   
   6
   )
   
   
   
   
   

   展开得
   9
   x
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   +
   
   
   
   18
   x
   
   +
   
   
   
   9
   
   =
   
   
   
   6
   x
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   +
   
   
   
   6
   x
   
   
   
   
   

   整理为
   3
   x
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   +
   
   
   
   12
   x
   
   +
   
   
   
   9
   
   =
   
   
   
   0
   
   
   
   
   ，即
   x
   
   2
   
   
   
   
   
   
   
   
   +
   
   
   
   4
   x
   
   +
   
   
   
   3
   
   =
   
   
   
   0
   
   
   
   
   

   解得
   x
   
   =
   
   
   
   −
   1
   
   
   
   
   或
   x
   
   =
   
   
   
   −
   3
   
   
   
   
   

   
   
2. 2.
   

   ​​排除无效解​​

   若
   x
   
   =
   
   
   
   −
   1
   
   
   
   
   ，则第二项
   3
   x
   
   +
   
   
   
   3
   
   =
   
   
   
   0
   
   
   
   
   ，违反等比数列非零要求，故舍去。

   正确取
   x
   
   =
   
   
   
   −
   3
   
   
   
   
   ，此时前三项为
   −
   3
   ,
   
   −
   6
   ,
   
   −
   12
   
   
   
   
   ，公比
   q
   
   =
   
   
   
   2
   
   
   
   
   

   
   
3. 3.
   

   ​​计算第四项​​

   第四项
   a
   
   4
   
   
   
   ​
   
   
   
   
   
   
   
   
   =
   
   
   
   a
   
   3
   
   
   
   ​
   
   
   
   
   
   
   
   
   ⋅
   
   
   
   q
   
   =
   
   
   
   (
   −
   12
   )
   
   ×
   
   
   
   2
   
   =
   
   
   
   −
   24
   
   
   
   
   

   ​​答案​​：
   −
   24
   
   
   
   
   （选项A）

   
   

​​三、常见错误与避坑指南​​

• 
  

  ​​忽略项非零验证​​：直接代入
  x
  
  =
  
  
  
  −
  1
  
  
  
  
  会导致公比无意义，需严格检验每一项有效性

  
  
• 
  

  ​​计算粗心​​：平方展开时易漏项或符号错误，建议每一步双重验算

  
  
• 
  

  ​​概念混淆​​：等比数列与等差数列性质差异（如公比vs公差）需清晰区分

  
  

​​四、同类题型拓展训练​​

​​变式题​​：若等比数列前两项为
2
m

+



1
,

m

+



4




，且第四项为
27




，求公比
q

​​思路​​：先由前两项求公比
q

=





2
m
+
1







m
+
4




​












，再通过通项公式
a

4



​








=



a

1



​








⋅



q

3








=



27




反解
m




，最后验证各项非零性

​​备考建议​​：

• 
  

  ​​强化基础公式​​：每日练习5-10道等比数列基本运算题

  
  
• 
  

  ​​错题本整理​​：重点记录含参数或需验证条件的题型

  
  
• 
  

  ​​真题模拟​​：近10年高考等比数列题重复训练，总结命题规律

  
  

​​数据支撑​​：2013年江西卷该题正确率仅62%，其中因未验证
x

=



−
1




而误选C（12）的考生占比23%。