做数学题的时候，是不是经常对着一串数列发呆？“这个数列到底是收敛的还是发散的啊？” 算来算去，时间花了不少，还是没搞明白，考试的时候急得手心冒汗。其实啊，判断数列收敛还是发散，是有窍门的，今天小编就把压箱底的 3 个实用方法拿出来，步骤讲得超详细，保证看完你也能上手，一起往下看吧！

一、为啥要学判断数列收敛还是发散？这对我们做题有啥用？

可能有人会说，不就是个判断嘛，有那么重要？你可别小看这个，在数学分析里，数列的收敛性是基础中的基础，后面学级数、微积分都得用到。要是这一步错了，后面的题就像盖房子打歪了地基，全白搭。那怎么才能准确判断呢？别急，三个方法，一个一个来教你。

二、方法一：极限定义法 —— 最直接的判断方式，新手也能学会

啥是极限定义法？简单说，就是看数列的极限是否存在。如果当 n 无限增大时，数列的项能无限靠近一个确定的数，那它就是收敛的；反之，就是发散的。
步骤是这样的：

1. 先写出数列的通项公式 aₙ；
2. 计算当 n→∞时，aₙ的极限；
3. 若极限是一个确定的常数，收敛；若极限不存在（包括无穷大），发散。

举个例子吧，数列 aₙ = (2n + 1)/n，怎么判断呢？
先算极限：lim (n→∞)(2n + 1)/n = lim (n→∞)(2 + 1/n) = 2，极限是 2，所以这个数列收敛。
又比如数列 bₙ = (-1)ⁿ，n→∞时，bₙ在 1 和 - 1 之间跳来跳去，没有确定的极限，所以发散。
有朋友问了，“计算极限的时候，要是遇到复杂的式子，该怎么办呢？” 其实不难，多练几道题就熟了，把分子分母的最高次项提出来，或者用等价无穷小替换，都是可以的，我们在使用这些技巧的时候，熟练了就快得很。

三、方法二：有界性与单调性法 —— 用定理来帮忙，准没错

单调有界定理大家还记得吗？就是说，单调递增且有上界的数列一定收敛；单调递减且有下界的数列一定收敛。反过来，要是数列无界，那肯定发散。
怎么用呢？步骤如下：

1. 先判断数列的单调性（递增还是递减）；
2. 再看数列是否有界（上界或下界）；
3. 要是既单调又有界，收敛；否则，还得结合其他方法再看。

比如数列 cₙ = 1 - 1/2ⁿ，我们来分析下：

• 单调性：cₙ₊₁ - cₙ = (1 - 1/2ⁿ⁺¹) - (1 - 1/2ⁿ) = 1/2ⁿ⁺¹ > 0，所以是单调递增的；
• 有界性：cₙ = 1 - 1/2ⁿ < 1，上界是 1，所以有上界；
• 结论：收敛，极限是 1。

那如果数列不单调呢？比如 dₙ = sin (n)/n，它不是单调的，但我们可以用其他方法，不过这个方法在很多时候还是很好用的，对吧。

四、方法三：夹逼准则 —— 对付 “难搞” 数列的利器

有些数列表达式很复杂，直接算极限不好算，这时候夹逼准则就派上用场了。它的意思是，若存在数列 xₙ、yₙ，使得 xₙ ≤ aₙ ≤ yₙ，且 xₙ和 yₙ都收敛于同一个极限 A，那么 aₙ也收敛于 A。
步骤是这样的：

1. 找到两个简单的数列 xₙ和 yₙ，让它们把 aₙ夹在中间；
2. 算出 xₙ和 yₙ的极限，要是相等且为 A；
3. 那 aₙ的极限就是 A，也就是收敛的。

举个例子，判断数列 eₙ = (1ⁿ + 2ⁿ + ... + nⁿ)/nⁿ是否收敛。

• 先找 xₙ和 yₙ：nⁿ/nⁿ ≤ eₙ ≤ n・nⁿ/nⁿ，即 1 ≤ eₙ ≤ n；
  不对，这样不行，范围太宽了。重新找，因为 nⁿ是最大的项，所以 (1ⁿ + 2ⁿ + ... + nⁿ)/nⁿ ≤ n・nⁿ/nⁿ = n（还是不对），换个思路：(nⁿ)/nⁿ ≤ eₙ ≤ (nⁿ + nⁿ + ... + nⁿ)/nⁿ = n・nⁿ/nⁿ = n，还是不行。哦，应该是当 n≥2 时，nⁿ ≥ (n-1)ⁿ ≥ ... ≥ 1ⁿ，所以 eₙ ≥ nⁿ/nⁿ = 1，eₙ ≤ (nⁿ + nⁿ + ... + nⁿ)（共 n 项）/nⁿ = n・nⁿ/nⁿ = n，这不对，其实正确的夹逼应该是：nⁿ/nⁿ ≤ eₙ ≤ (nⁿ + nⁿ + ... + nⁿ)（1 项 nⁿ和 n-1 项 (n-1)ⁿ），不过可能更简单的是，当 n→∞时，eₙ = 1，因为只有最后一项占主导，所以收敛于 1。

可能我刚才的例子举得不太好，但夹逼准则的思路就是这样，找两个 “保镖” 把数列夹住，这样就可以判断了。

五、三个方法大对比，一张表格看明白

方法名称	适用场景	优点	缺点	典型例题类型
极限定义法	所有数列	直接、基础	复杂数列计算难	通项简单的数列，如分式数列
有界性与单调性法	单调数列	利用定理，逻辑清晰	非单调数列不适用	递增 / 递减且有界的数列
夹逼准则	表达式复杂，可放缩的数列	解决难算极限的数列	找 xₙ和 yₙ需要技巧	含求和、乘方的复杂数列

看了这表格，是不是对三个方法的区别更清楚了？以后遇到数列，就可以根据情况选方法啦。

六、常见问题解答，帮你扫清疑惑

• 问：如果一个数列既不收敛也不发散，有这种情况吗？
  答：没有哦，数列要么收敛，要么发散，不存在中间状态，这一点要记牢。
• 问：用有界性判断时，数列有界就一定收敛吗？
  答：不是的，有界是收敛的必要条件，但不是充分条件，比如数列 (-1)ⁿ有界，但它是发散的。
• 问：夹逼准则里，xₙ和 yₙ的极限必须相等才行吗？
  答：对的，必须相等，不然夹不住，就没法判断了。

七、小编的一点心得

其实判断数列收敛还是发散，没有那么难，关键是多练。刚开始的时候，我也经常搞错，拿到一个数列不知道用哪个方法，后来做的题多了，就慢慢有感觉了。
给大家一个小建议：做题的时候，先观察数列的通项，看看能不能用极限定义法直接算；如果是单调的，就试试有界性与单调性法；要是式子复杂，能放缩，就用夹逼准则。当然，还有其他方法，但这三个是最基础、最常用的，掌握了它们，大部分题都能搞定。
希望今天讲的这些，能帮到正在学习的你，要是还有不懂的地方，欢迎留言问我，一起讨论呀！

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